Halaman
180Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKBarisanKompetensi Dasar Pengalaman Belajar• Pola Bilangan• Beda• Rasio• Aritmetika• GeometriIstilah Penting A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman BelajarBAB5Setelah mengikuti pembelajaran barisan, siswa mampu:3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri.4.6 Menggunakan pola barisan Aritmetika dan Geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas) Melalui pembelajaran materi barisan , siswa memperoleh pengalaman belajar:1. Menemukan konsep dan pola barisan melalui pemecahan masalah autentik.2. Berkolaborasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur.3. Berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, kreatif) dalam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep dan pola barisan dalam memecahkan masalah autentik.
181MATEMATIKA B. Diagram AlirFungsiMateriPrasyaratMasalahAutentikBarisan BilanganBarisan AritmetikaDeret AritmetikaJumlah n suku pertamaBarisan GeometriDeret GeometriJumlah n suku pertamaSyaratSuku awalRasioSuku ke-nSuku awalRasioSuku ke-nUnsurUnsur
182Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK5.1 Menemukan Pola Barisan Amati dan kritisi masalah nyata kehidupan yang dapat dipecahkan secara arif dan kreatif melalui pros-es matematisasi. Dalam proses pembelajaran barisan,berbagai konsep dan aturan matematika terkait barisan akan ditemukan melalui pemecahan masalah, melihat pola susunan bilangan, menemukan berbagai strategi sebagai alternatif pemecahan masalah.Perhatikan ilustrasi berikut. Data uang saku seorang anak sekolah setiap hari adalah Rp10.000,00 dan untuk menumbuhkan niat menabung orang tuanya menambahkan sebesar Rp1.000,00 tiap harinya. Jika uang saku tersebut disusun dengan bilangan-bilangan maka kita akan memperoleh susunan bilangan seperti berikut.10.000, 11.000, 12.000, 13.000, ... +1000+1000+1000Perhatikan bilangan tersebut mempunyai keteraturan dari urutan pertama, kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya, yaitu bilangan berikutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah 1.000. Bilangan-bilangan yang disusun berurut dengan aturan tertentu seperti itulah dikenal dengan nama barisan bilangan.Konsep tentang fungsi akan kita gunakan dalam penerapan menemukan pola dari barisan, karena barisan merupakan suatu fungsi dengan domain bilangan bulat positif dan range bilangan real. Materi tentang fungsi sudah dipelajari di Bab 3 kelas 10. Pada bab tersebut dituliskan definisi fungsi yaitu Misalkan A dan B himpunan, Fungsi f dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Jika kita perhatikan sebuah barisan maka suku ke-n dengan n merupakan bilangan bulat positif disebut sebagai domain akan berpasangan terhadap rumus suku ke-n dari barisan itu dan disebut range, yang merupakan bilangan real. C. Materi Pembelajaran
183MATEMATIKAMasalah 5.1Misalkan barisan bilangan ditulis lambang U untuk menyatakan urutan suku- sukunya maka bilangan pertama ditulis U(1) atau U1, bilangan kedua di-tulis U(2) atau U2, dan seterusnya. Maka kita dapat membuat aturan pengaitan seperti berikut ini.11.00012.00013.00014.000...nU1U2U3U4...UnDari pasangan di atas diperoleh bentuk umum barisan bilangan adalah U1, U2, U3, ..., Un, ... Dengan Un = f(n) yang disebut dengan rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan. Untuk memahami barisan dan pola barisan mari perhatikan masalah-masalah berikut ini.Beberapa kelereng dikelompokkan dan disusun sehingga setiap kelompok tersusun dalam bentuk persegi sebagai berikut.Gambar 5.1: Susunan KelerengKelereng dihitung pada setiap kelompok dan diperoleh barisan : 1, 4, 9, 16, 25. 1491625K1K2K3K4K5Gambar 5.1: Jumlah Kelereng pada Setiap Kelompok
184Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPermasalahan:Dapatkah kamu temukan bilangan berikutnya pada barisan tersebut? Dapatkah kamu temukan pola barisan tersebut? Tentukan banyak kelereng pada kelompok ke-15?Alternatif Penyelesaian:1. Kemungkinan metode yang dapat digunakan adalah membuat susunan benda berikutnya dan menghitung kembali banyak kelereng pada susunan itu. Alternatif penyelesaian ini tidak efisien karena harus menyusun kembali banyak kelereng untuk kelompok berikutnya.36K6Gambar 5.2: Jumlah Kelereng pada Kelompok ke-62. Alternatif penyelesaian lainnya adalah menemukan pola barisan tersebut.Perhatikan tabel berikut dan lengkapilah!Tabel 5.1: Pola Banyak Kelereng Pada Setiap KelompokKelompokBanyak KelerengPolaK111 = 1 × 1K244 = 2 × 2K3...... = ...K4...... = ...K5...... = ............Kn...... = ...Dengan pola barisan pada tabel yang kamu lengkapi di atas, dapatkah kamu menentukan bilangan berikutnya? Berapakah bilangan untuk kelompok ke-15?
185MATEMATIKAApakah mungkin ada pola lain untuk menyelesaikan masalah di atas? Coba kamu lengkapi tabel berikut.Tabel 5.2: Pola Banyak Kelereng pada Setiap KelompokKelompokBanyak KelerengPolaK11... = ...K24... = ...K39... = ...K4...... = ...K5...... = ............Kn?... = ...Bagaimana pola barisan dari tabel yang kamu lengkapi di atas? Dapatkah kamu menentukan bilangan berikutnya? Berapakah bilangan untuk kelompok ke-15?Kamu dapat dengan mudah menentukan bilangan-bilangan berikutnya pada sebuah barisan bilangan jika dapat menemukan pola barisannya. Silahkan pelajari pola barisan pada beberapa contoh berikut.Contoh 5.1Perhatikan barisan huruf berikut:ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD...Amatilah barisan huruf tersebut terlebih dahulu! Tentukanlah huruf pada urutan 25 × 33!Alternatif Penyelesaian:Pertama, kita perlihatkan urutan setiap huruf pada barisan, sebagai berikut.ABBCCCDDDDABBCCCDDDD...1234567891011121314151617181920...
186Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKJika kamu amati dengan teliti, kelompok huruf ABBCCCDDDD pada urutan 1 sampai 10 berulang, bukan? Perulangan kelompok huruf terjadi pada setiap kelipatan 10 huruf pertama. Jadi, huruf pada urutan 1 sama dengan huruf pada urutan 11, urutan 21, urutan 31, dan seterusnya. Kedua, huruf pada urutan 25 × 33 adalah huruf pada urutan 32 × 27 = 864 atau 864 = 860 + 4 = 86 × 10 + 4 sehingga perulangan kelompok huruf tersebut mengalami perulangan sebanyak 86 kali. Dengan demikian, huruf pada urutan ke-864 sama dengan huruf pada urutan ke-4 atau C, bukan? Perhatikan tabel di bawah ini!Tabel 5.3: Urutan Barisan HurufUrutan ke-HurufUrutan ke-Huruf...Urutan ke-HurufUrutan ke-Huruf1A11A...851A861A2B12B...852B862B3B13B...853B863B4C14C...854C864C5C15C...855C6C16C...856C7D17D...857D8D18D...858D9D19D...859D10D20D...860DContoh 5.2Sebuah barisan bilangan asli dituliskan sebagai berikut: 1234567891011121314151617181920212223242526... sehingga suku ke-10 = 1, suku ke-11 = 0, suku ke-12 = 1, dan seterusnya. Dapatkah kamu temukan angka yang menempati suku ke-2004?
187MATEMATIKAAlternatif Penyelesaian:Mari kita amati kembali barisan tersebut, sebagai berikut.123456789101112131...?↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓u1u2u3u4u5u6u7u8u9u10u11u12u13u14u15u16u17u18...u2004un menyatakan suku ke-n pada barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, ...Kita akan mencari angka yang menempati suku ke-2004 dengan menghitung banyak suku pada bilangan satuan, puluhan, dan ratusan sebagai berikut.Langkah 1.Mencari banyak suku pada barisan bilangan satuan (1 sampai 9):1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Banyak suku pada barisan bilangan satuan adalah 1 × 9 = 9 suku.Langkah 2.Mencari banyak suku pada barisan bilangan puluhan (10 sampai 99) 10, 11, 12, 13, ..., 19 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku20, 21, 22, 23, ..., 29 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku...90, 91, 92, 93, ..., 99 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku Banyak suku pada barisan bilangan puluhan adalah 9 × 20 = 180 suku. Jadi, banyak suku pada barisan 1 sampai 99 adalah 9 + 180 = 189 suku.Langkah 3. Mencari banyak suku pada barisan bilangan puluhan (100 sampai 999)Jika ratusan (1 sampai 6)100, 101, 102, 103, ..., 109 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku110, 111, 112, 113, ..., 119 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku120, 121, 122, 123, ..., 129 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku ...690, 691, 692, 693, ..., 699 terdapat 3 × 10 suku = 30 sukuBanyak suku untuk barisan bilangan ratusan dengan ratusan 1 sampai 6 adalah 6 × 10 × 30 = 1800 suku.
188Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKJadi terdapat sebanyak 9 + 180 + 1800 = 1989 suku pada barisan bilangan 1 sampai dengan 699 sehingga suku ke-1989 adalah 9. Suku berikutnya (suku ke-1990) adalah barisan bilangan dengan ratusan 7 sebagai berikut.9700701702703704↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓u1989u1990u1991u1992u1993u1994u1995u1996u1997u1998u1999u2000u2001u2002u2003u2004Angka pada suku ke-2004 adalah 4.Contoh 5.3Tentukan pola barisan pada 1111111, ,,,,, ...,2 6 12 20 30 429900. Tentukanlah banyak suku pada barisan tersebut.Alternatif Penyelesaian:Jika un adalah suku ke-n sebuah barisan dengan = 1, 2, 3,... maka barisan di atas disajikan dalam tabel berikut. Tabel 5.4: Pola Barisan Suku ke NilaiPolau112211112=+u216211622=+u31122111233=+u41202112044=+u51302113055=+Berdasarkan pola barisan 21nunn=+ yang telah diperoleh pada tabel di samping maka 19900nu=atau 12nn+= 19900 nn29900+= nn299000+−= ()()nn−+=991000 n=99
189MATEMATIKASuku ke NilaiPolau61422114266=+ .........un?21?nn=+Barisan 1111111, ,,,,, ...,2 6 12 20 30 429900 terdiri atas 99 suku.Diskusikan dengan temanmu mengapa yang digunakan n = 99?Jika sn adalah jumlah n suku pertama dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ... maka dari barisan di atas disajikan dalam tabel berikut.Tabel 5.5: PolaSukuJumlah suku-sukuNilais1u112s2u1 + u223s3u1 + u2 + u334s4u1 + u2 + u3 + u445s5u1 + u2 + u3 + u4 + u556s6u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u667.........
190Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSukuJumlah suku-sukuNilaisnu1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + ... + un1nnsn=+Berdasarkan tabel di atas, s1, s2, s3, ..., sn, ... yaitu 12345992 3 4 5 6100, , , , ,...,,...adalah sebuah barisan dengan pola 1nnsn=+.Karena n = 99 maka 9911111119926122030429900100...s=+++++++ =Jika sn adalah jumlah n suku pertama dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ... atau sn = u1 + u2 + u3 + ... + un–1 + un dan sn–1 = u1 + u2 + u3 + ... + un–1 maka sn = sn–1 + un atau un = sn – sn–1.Contoh 5.4Suatu barisan dengan pola sn = 2n3 – 3n2.Tentukan pola barisan tersebut kemudian tentukanlah suku ke-10.Alternatif Penyelesaian:Dengan rumus un = sn – sn–1 maka dapat ditentukan sn = 2n3 – 3n2 atau sm = 2m3 – 3m2. Misalkan m = n – 1 maka () ()() ()32132213212 13 12 6 62 3 6329125nnnsn ns nnnnns nn n---= -- -= - +-- -+=-+-Jadi, () ()32321223 291256125n nnnu ssn nn n nun n-=-= - - -+-=-+Pola barisan tersebut adalah 2 6125nu nn= -+ sehingga: u102610121056001205485=−+=−+=()()Jadi, suku ke-10 pada barisan tersebut adalah 485.
191MATEMATIKAMasalah 5.25.2 Menemukan Konsep Barisan AritmetikaPada subbab di atas, kita telah membicarakan masalah pola dari barisan bilangan secara umum. Berikutnya, kita akan belajar menemukan konsep barisan aritmetika. Perhatikan gambar tumpukan jeruk di samping ini! Bagaimana cara menentukan atau menduga banyak jeruk dalam satu tumpukan? Gambar 5.3: Tumpukan Buah JerukAlternatif Penyelesaian:Jika diperhatikan gambar di atas, maka diperoleh susunan dari beberapa jeruk. Jeruk itu dapat disusun membentuk sebuah piramida.Gambar 5.4: Susunan piramida jerukJumlah jeruk pada bagian bawah tumpukan akan lebih banyak dibandingkan pada susunan paling atas. Misalkan susunan jeruk tersebut disederhanakan menjadi sebuah susunan segitiga, seperti gambar di bawah ini.Gambar 5.5: Susunan bulatan bentuk segitiga
192Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMasalah 5.3•Mengapa harus dengan susunan segitiga, coba lakukan dengan susunan segi empat. Apa yang kamu temukan?Banyaknya bulatan yang tersusun dari setiap kelompok dapat dituliskan dengan bilangan, yaitu 1, 3, 6, 10, 15. Bilangan tersebut membentuk barisan. Perhatikan polanya pada Gambar 5.4:1361015+2+3+4+5Gambar 5.5: Pola susunan jumlah jeruk dalam tumpukanTernyata beda antara setiap dua bilangan yang berdekatan membentuk barisan yang baru yaitu 2, 3, 4, 5,... Perhatikan skema berikut.13+1+1+161015+2+3+4+5Gambar 5.7: Pola turunan jumlah jeruk dalam tumpukanBeda setiap dua bilangan yang berdekatan pada barisan 2, 3, 4, 5,... adalah tetap yaitu 1. Dengan demikian barisan 2, 3, 4, 5,... disebut ”Barisan Aritmetika” dan barisan 1, 3, 6, 10, 15, ... disebut ”Barisan Aritmetika Tingkat Dua”.•Coba kamu bentuk sebuah barisan aritmetika tingkat tiga? Perhatikan masalah disamping!Jika tinggi satu anak tangga adalah 20 cm, berapakah tinggi tangga jika terdapat 15 anak tangga? Tentukanlah pola barisannya!Gambar 5.8: Tangga
193MATEMATIKAMasalah 5.4Alternatif PenyelesaianUntuk menentukan tinggi tangga maka permasalahan di atas diurutkan menjadi:u1=a2020 + 20= 4020 + 20 +20= 6020 + 20 +20 + 20= 8020 + 20 +20 + 20 +20= 10020 + 20 +20 + ... +20...u2u3u4u5...u15++++++++++++Dari uraian di atas, ditemukan susunan bilangan 20, 40, 60, 80,...un: suku ke-nu1 = 20 = 1 × 20u2 = 40 = 2 × 20u3 = 60 = 3 × 20u4 = 80 = 4 × 20u5 = 100 = 5 × 20...un = n × 20 = 20nCermati pola bilangan un =20n, sehingga u15 =15 × 20 = 300.Berarti tinggi tangga tersebut sampai anak tangga yang ke-15 adalah 300 cm.Lani, seorang perajin batik di Gunung Kidul. Ia dapat menyelesaikan 6 helai kain batik berukuran 2,4 m × 1,5 m selama 1 bulan. Permintaan kain batik terus bertambah sehingga Lani harus menyediakan 9 helai kain batik pada bulan kedua, dan 12 helai pada bulan ketiga. Dia menduga, jumlah kain batik untuk bulan berikutnya akan 3 lebih banyak dari bulan sebelumnya. Dengan pola kerja tersebut, pada bulan berapakah Lani menyelesaikan 63 helai kain batik?
194Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDefinisi 5.1Alternatif PenyelesaianDari masalah di atas, dapat dituliskan jumlah kain batik sejak bulan pertama seperti di bawah ini.Bulan I : u1 = a = 6Bulan II : u2 = 6 + 1.3 = 9Bulan III : u3 = 6 + 2.3 = 12Bulan IV: u4 = 6 + 3.3 = 15Demikian seterusnya bertambah 3 helai kain batik untuk bulan-bulan berikutnya sehingga bulan ke-n : un= 6 + (n – 1).3 (n merupakan bilangan asli). Sesuai dengan pola di atas, 63 helai kain batik selesai dikerjakan pada bulan ke-n. Untuk menentukan n, dapat diperoleh dari,63 = 6 + (n–1).363 = 3 + 3nn = 20.Jadi, pada bulan ke-20, Lani mampu menyelesaikan 63 helai kain batik. Jika beda antara dua bilangan berdekatan dinotasikan ”b”, maka pola susunan bilangan 6, 9, 12, 15, ..., dapat dituliskan un= a + (n – 1).bBarisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berurutan adalah sama. Beda, dinotasikan “b” memenuhi pola berikut.b = u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = ... = un– un–1n: bilangan asli sebagai nomor suku, un adalah suku ke-n.Berdasarkan definisi di atas diperoleh bentuk umum barisan aritmetika sebagai berikut.u1, u2, u3, u4, u5, ..., unSetiap dua suku yang berurutan pada barisan aritmetika memiliki beda yang sama, maka diperolehu1 = au2 = u1 + 1. bu3 = u2 + b = u1 + 2.bu4 = u3 + b = u1 + 3.b
195MATEMATIKAMasalah 5.5u5 = u4 + b = u1 + 4.b...un= u1 + (n – 1)bSifat 5.1Jika u1, u2, u3, u4, u5, ..., un merupakan suku-suku barisan aritmetika. Suku ke-n barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut.un= a+ (n – 1)ba = u1= suku pertama barisan aritmetika, b = beda barisan aritmetika.Setiap hari Siti menabungkan sisa uang jajannya. Uang yang ditabung setiap hari selama enam hari mengikuti pola barisan aritmetika dengan suku pertama a = 500 dan beda b = 500. Bagaimana cara mengetahui banyaknya uang Siti yang ditabung pada hari ke-6?Alternatif Penyelesaian:Penyelesaian Masalah 5.5 dapat dilakukan dengan membuat barisan aritmetika dari uang yang ditabung Siti kemudian menentukan suku terakhirnya.u1u2u3u4u5++++++++++u6500u1 + 500u2 + 500u3 + 500u4 + 500u5 + 500Karena un= a + (n – 1)b maka u6 = (a + 5b)= 500 + 5(500)= 500 + 2.500= 3.000Berarti tabungan Siti pada hari ke-6 adalah Rp3.000,00.
196Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKContoh 5.51. Tentukan suku ke-n barisan di bawah ini!a. 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... tentukan suku ke-15!b. 4, 1, – 2, – 5, – 8, ... tentukan suku ke-18!Alternatif Penyelesaian:a. 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...Dari barisan bilangan tersebut, diketahui bahwa u1 = a = 1, u2 = 2, u3 = 3, ....b = u2 – u1 = u3 – u2 = 1.Karena un= a + (n – 1)b, maka u15 = a + (15 – 1)b.u15 = 1 + (15 – 1).1 = 15b. 4, 1, –2, –5, –8, ...Diketahui: u1 = a = 4, u2 = 1, u3 = –2, u4 = –5, ....b = u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = –3.Karena un= a + (n – 1)b, maka u18 = a + (18 – 1)b.u18 = 4 + (18 – 1).(–3) = –472. Suku ke-4 barisan aritmetika adalah 19 dan suku ke-7 adalah 31. Tentukan suku ke-50.Alternatif Penyelesaian:un = a + (n – 1)bu4 = 19 = a + 3bu7 = 31 = a + 6b – –3b = –12 b = 4a + 3b = 19a + 3(4) = 19a = 7u50 = a + 49b = 7 + 49 (4) = 203
197MATEMATIKAUji Kompetensi 5.11. Suatu barisan dengan rumus suku ke-n adalah Un = 2n2 – 2.a. Tentukan lima suku pertama barisan tersebut.b. Tentukan n jika barisan tersebut yang bernilai 510.2. Bila a, b, c merupakan suku berurutan yang membentuk barisan aritmetika, buktikan bahwa ketiga suku berurutan berikut ini juga membentuk barisan aritmetika 111,,bc ca ab!3. Semua bilangan genap positif dikelompokkan sebagai berikut. (2), (4, 6), (8, 10, 12), (14, 16, 18, 20), (22, 24, 26, 28, 30), . . . tentukan bilangan yang terletak di tengah pada kelompok ke 15.4. Tentukan banyak bilangan asli yang kurang dari 999 yang tidak habis dibagi 3 atau 5 adalah . . . .5. Diketahui a + (a + 1) + (a + 2) + . . . + 50 = 1.139Jika a bilangan bulat positif maka tentukan nilai a.6. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan asli 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 ...Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke 2004? (bilangan ke-12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 2).7. Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD... berulang sampai tak hingga. Huruf apakah yang menempati urutan 2634?8. Diketahui barisan yang dibentuk oleh semua bilangan asli 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 ... Angka berapakah yang terletak pada bilangan ke-2013? (bilangan ke-12 adalah angka 1 dan bilangan ke-15 adalah angka 2)9. Perhatikan susunan balok berikut.u1= 1u2 = 3u3 = 6u4 = 10u5 = 15u6 = 21un = ...dan seterusnya
198Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKa. Tentukan berapa banyak balok yang dibutuhkan pada susunan ke-10.b. Tentukan pula susunan balok yang ke-100.10. Suatu perusahaan minuman kaleng pada bulan Januari 2012 memproduksi 40.000 minuman kaleng. Setiap bulan perusahaan tersebut menaikkan produksinya secara tetap sebanyak 250 kaleng. Berapa banyak minuman kaleng yang diproduksi perusahaan sampai akhir bulan Juni 2013?ProyekHimpunlah minimal tiga masalah penerapan barisan aritmetika dalam bidang fisika, teknologi informasi, dan masalah nyata di sekitarmu. Ujilah berbagai konsep dan aturan barisan aritmetika di dalam pemecahan masalah tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas!5.3 Menemukan Konsep Barisan GeometriContoh 5.6Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, ...×2×2×22481632×2...Nilai perbandingan 32121...2nnuuuuuu-= = = =. Jika nilai perbandingan dua suku berurutan dimisalkan r dan nilai suku pertama adalah a, maka susunan bilangan tersebut dapat dinyatakan dengan 2, 2 × 2, 2 × 2 × 2, ...
199MATEMATIKAPerhatikan gambar berikut ini!22aar1-1u1= a42×2a×rar2-1u2= ar82×2×2a×r×rar3-1u3= ar2162×2×2×2a×r×r×rar4-1u4= ar3322×2×2×2×2a×r×r×r×rar5-1u5= ar4........................arn–1un= arn–1dari pola di atas dapat disimpulkan bahwa un= arn–1Contoh 5.7Perhatikan susunan bilangan 1112481, , , ,...1121418116×12×12×12×12...Nilai perbandingan 3212112....nnuuuuuu-= = = = Jika nilai perbandingan dua suku berurutan dimisalkan r dan nilai suku pertama adalah a, maka susunan bilangan tersebut dapat dinyatakan dengan 1 11 11 112 22 42 821,1,,,,... u1u2u3u4u5un
200Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKPerhatikan gambar berikut!aarar2...arn–1u1u2u3u...un×r×r×r×rSehingga:•u1 = a = 1•u2 = u1.12= 1.12↔ u2 = u1.r = a.r• 223 23211112222.1. .1... ..uuuu r arr ar===↔= = =•23234 3431 1112 222.1..1... ..uuuu r ar r ar===↔= = =•34345 45411112222.1..1... ..uuuu r ar r ar===↔= = =Dari pola di atas, tentunya dengan mudah kamu pahami bahwa,un= un–1.r = a.rn–2.r = a.rn–1Contoh 5.8Seorang anak memiliki selembar kertas. Berikut ini disajikan satu bagian kertas.Gambar 5.9: Selembar KertasIa melipat kertas tersebut menjadi dua bagian yang sama besar. Kertas terbagi menjadi 2 bagian yang sama besar.
201MATEMATIKA Gambar 5.10: Selembar Kertas pada Lipatan PertamaKertas yang sedang terlipat ini, kemudian dilipat dua kembali olehnya. Kertas terbagi menjadi 4 bagian yang sama besar.Gambar 5.11: Selembar Kertas pada Lipatan KeduaIa terus melipat dua kertas yang sedang terlipat sebelumnya. Setelah melipat, ia selalu membuka hasil lipatan dan mendapatkan kertas tersebut terbagi menjadi 2 bagian sebelumnya. Sekarang, perhatikan bagian kertas tersebut yang membentuk sebuah barisan bilangan.124...u1u2u3u...Setiap dua suku berurutan dari barisan bilangan tersebut memiliki perbandingan yang sama, yaitu 32121...2.nnuuuuuu-= = = = Barisan bilangan ini disebut barisan geometri.
202Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDefinisi 5.2Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.Rasio, dinotasikan r merupakan nilai perbandingan dua suku berdekatan. Nilai r dinyatakan: 3241 231....nnuuuuruuuu-= = = = =Sifat 5.2Jika u1, u2, u3, ..., un merupakan susunan suku-suku barisan geometri, dengan u1= a dan r: rasio, maka suku ke-n dinyatakanun= a.rn–1, n adalah bilangan asliUji Kompetensi 5.21. Untuk memeriksa sebuah barisan merupakan barisan geometri apakah cukup hanya dengan menentukan rasio dua suku berturutan? Jelaskan dengan menggunakan contoh!2. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-10 dari barisan bilangan di bawah ini!a. 1, 4, 16, 24, ...b. 5, 10, 20, 40, ...c. 9, 27, 81, 243, ...d. 125, 15, 1, 5, ...e. 81, 27, 9, 3, ...3. Tentukan rasio dan suku pertama dari barisan geometri di bawah ini!a. Suku ke-4 = 8 dan suku ke-6 = 729b. Suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162c. U3 = 10 dan U6 = 1,254. Selesaikan barisan geometri di bawah ini!a. Suku ke-4 = 27 dan suku ke-6 = 243, tentukan suku ke-8b. U2 = 10 dan U6 = 10, tentukan U9c. U2 = 22 dan U5 = 8, tentukan U10
203MATEMATIKA5. Tentukan hasil dari jumlah bilangan di bawah ini !a. 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... (sampai 10 suku)b. 54 + 18 + 6 + 2 + ... (sampai 9 suku)c. 5 – 15 + 45 – 135 + ... (sampai 8 suku)d. 1 + 1 + 3 + 2 + 9 + 4 + 27 + 8 + ... (sampai 19 suku)e. 8 + 7 + 9 + 3 + ... + 127 + 181 = ...6. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah 3 dan suku kedua dikurangi 1, diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 8, maka hasilnya menjadi 5 kali suku pertama. Tentukan beda dari barisan aritmetika tersebut! 7. Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri dengan rasio r >1. Jika suku tengah ditambah 4, maka terbentuk sebuah barisan aritmetika yang jumlahnya 30. Tentukan hasil kali dari ketiga bilangan tersebut!8. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 8m dan memantul kembali dengan ketinggian 35 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Berapakah jarak lintasan seluruhnya ? 9. Jika barisan x1, x2, x3, ... memenuhi x1 + x2 + x3 + ... + xn= n3, untuk semua n bilangan asli, maka x100= ...10. Jumlah m suku pertama barisan aritmetika adalah p dan jumlah m suku terakhir barisan aritmetika tersebut adalah q. Tentukan jumlah 4m suku pertama barisan tersebut.ProyekHimpunlah minimal tiga buah masalah penerapan barisan dan deret geometri dalam bidang fisika, teknologi informasi, dan masalah nyata di sekitarmu. Ujilah berbagai konsep dan aturan barisan dan deret aritmetika di dalam pemecahan masalah tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas!
204Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK5.4 Aplikasi Barisan 5.4.1 Pertumbuhan Masalah 5.6Seorang peneliti mengamati perkembangan koloni bakteri yang terbentuk setiap jam. Apabila jumlah koloni bakteri mula-mula 100 dan setiap bakteri membelah menjadi dua setiap jam. Peneliti ingin mengetahui jumlah koloni bakteri yang terbentuk dalam waktu 50 jam dan buatlah grafik dari model persamaan yang ditemukan!Alternatif Penyelesaian:Misalkan:K(0) = 100 = Jumlah koloni bakteri mula-mulaK(50) = Jumlah koloni bakteri setelah 50 jamK(n) = Jumlah koloni bakteri setelah n jamn= Lamanya waktu berkembangKarena bakteri membelah menjadi dua maka untuk waktu 50 jam kita dapat membuat tabel perkembangannya seperti berikut ini.Tabel 5.6:Perkembangan Koloni BakteriWaktu (Jam)Jumlah Koloni BakteriPola Bilangan1200 100 × 2 = 100 × 212400 100 × 2 × 2 = 100 × 223800 100 × 2 × 2 × 2= 100 × 23.........n......Dari hasil pengamatan pada tabel di atas, kita dapat membuat hubungan antara pertumbuhan jumlah bakteri (K) yang terbentuk terhadap perubahan waktu (n) dengan model matematika yang sesuai untuk jumlah koloni bakteri yang terbentuk setelah n jam tersebut, yaitu ...?
205MATEMATIKAContoh 5.9Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3,25 juta jiwa pada tahun 2008, diperkirakan menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen pertumbuhannya? Berapa jumlah penduduknya pada tahun 2015?Alternatif Penyelesaian:Persentase pertumbuhan penduduk: Pn = P0 (1 + i)n 4,5 = 3,25 (1 + i)2013-2008 4,5 = 3,25 (1 + i)5 4,5/3,25 = (1 + i)5 1,3846 = (1 + i)5 1,38461/5 = 1 + i i = 1,38461/5 – 1 i = 0,0673 = 6,73 %Jadi, persentase pertumbuhan penduduknya 6,73%.Jumlah penduduk pada tahun 2015.P2015= P2008 (1 + i)2015-2008= 3,25 (1 + 6,73%)7= 3,25 (1,577632)= 5,13Jadi, jumlah penduduk kota metropolitan pada tahun 2015 sebanyak 5,13 juta.5.4.2 PeluruhanMasalah 5.7Suatu neutron dapat pecah mendadak menjadi suatu proton dan elektron dan ini terjadi sedemikian sehingga jika kita memiliki 1.000.000 neutron, kira-kira 5% dari padanya akan berubah pada akhir satu menit. Berapa neutron yang masih ada setelah n menit dan 10 menit?
206Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian:Misalnya banyak neutron adalah M dan persentase peluruhan (penyusutan) sebesar p % tiap menit, maka: Banyak neutron semula = MBanyak neutron setelah 1 menit = 1001001ppM MM-=-Banyak neutron setelah 2 menit = 2111100100100100ppppMMM -- -=- Banyak neutron setelah 3 menit =223111100100100100ppppMMM -- -=- Banyak neutron setelah n menit = 1001npM-Banyak neutron setiap menitnya membentuk barisan geometri M, 1001pM-, 21001pM-, 31001pM-,..., 1001npM-Un = 1001npM-Un = 11100npU--, dengan 1001p- dinamakan faktor peluruhan Un = U11001npM-Dalam kasus ini, M = 1.000.000p = 5%, maka Un = 1.000.00051001n-= 1.000.000(0,95)n, Dengan faktor peluruhannya = 0,95.U10 = 1.000.000 (0,95)10Log U10 = log 1.000.000 + 10 log 0,95= 6 + 10 ( 0,9777 – 1) = 5,777U10= 598.412Jadi, neutron yang masih ada setelah n menit adalah 1.000.000 (0,95)n dan neutron yang masih ada setelah 10 menit adalah 598.412.
207MATEMATIKA5.4.3 Bunga Majemuk Masalah 5.8Ovano menerima uang warisan sebesar Rp70.000.000,00 dari orang tuanya dan berniat untuk menginvestasikan dalam bentuk tabungan di bank selama 5 tahun. Dia menjajaki dua bank yang memiliki sistem pembungaan yang berbeda. Bank BCL menggunakan bunga tunggal sebesar 10% per tahun dan Bank PHP menggunakan majemuk sebesar 9% per tahun. Dari hasil perhitungan pihak bank ia memperoleh ilustrasi investasi sebagai berikut.BANK BCLBANK PHPTahunBungaSaldo UangBunga2Saldo Uang200 Rp70,000,000.00 0 Rp70,000,000.00 1 Rp7,000,000.00 Rp77,000,000.00 Rp6,300,000.00 Rp76,300,000.00 2 Rp7,000,000.00 Rp84,000,000.00 Rp6,867,000.00 Rp83,167,000.00 3 Rp7,000,000.00 Rp91,000,000.00 Rp7,485,030.00 Rp90,652,030.00 4 Rp7,000,000.00 Rp98,000,000.00 Rp8,158,682.70 Rp98,810,712.70 5 Rp7,000,000.00 Rp105,000,000.00 Rp8,892,964.14 Rp107,703,676.84 Total investasi Rp105,000,000.00 Rp107,703,676.84 Dari ilustrasi investasi di atas diperoleh kesimpulan bahwa walaupun Bank PHP menawarkan bunga majemuk yang lebih kecil daripada bunga tunggal Bank BCL namun hasil investasi yang dihasilkan adalah lebih besar.Untuk dapat menemukan penyebab perbedaan bunga majemuk dan tunggal di atas, mari perhatikan masalah-masalah berikut.Masalah 5.9Di suatu pameran elektronik Odi mendapatkan dua brosur dari dua toko yang berbeda yang menawarkan kredit laptop berkualitas tinggi. Laptop seharga Rp10.000.000,00 tersebut dapat diangsur selama 5 tahun. Toko OLS menawarkan suku bunga tunggal dan toko Lazadul menawarkan suku bunga majemuk yang masing-masing sebesar 4% per tahun.
208Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSetelah menghitung secara cermat Odi mendapatkan tabel angsuran sebagai berkut.TOKO OLSTOKO LAZADULTahunBungaAngsuranBunga2Saldo Uang200 Rp10,000,000.00 0 Rp10,000,000.00 1 Rp400,000.00 Rp10,400,000.00 Rp400,000.00 Rp10,400,000.00 2 Rp400,000.00 Rp10,800,000.00 Rp416,000.00 Rp10,816,000.00 3 Rp400,000.00 Rp11,200,000.00 Rp32,640.00 Rp11,248,640.00 4 Rp400,000.00 Rp11,600,000.00 Rp449,945.60 Rp11,698,585.60 5 Rp400,000.00 Rp12,000,000.00 Rp467,943.42 Rp12,166,529.02 Total investasi Rp12,000,000.00 Rp12,166,529.02 dengan hasil perhitungan di atas akhirnya Odi memilih untuk membeli laptop tersebut pada Toko OLS. Dari kedua masalah di atas dapat kita rumuskan pola barisan bunga majemuk yakni:Misal diberikan modal awal/pokok M yang diinvestasikan dengan bunga i per periode. Besar modal pada periode ke-n (Mn) dapat dihitung dengan cara berikut.1 000(1)M M MiM i= + ×= +M2 = M1(1 + i) = [M0(1 + i)](1 + i) = M0(1 + i)2233200(1)(1)(1)(1)MMiMi iMi= += + += +1100(1)(1)(1)(1)nnnnMM iMiiMi--= += + += +Maka besar modal pada waktu n yang diinvestasikan menjadi:0(1)nnMM i=+Contoh 5.10Yusuf seorang pelajar SMA kelas XI senang menabung uang. Selama ini dia berhasil menabung uangnya sejumlah Rp1.000.000,- di sebuah bank dengan bunga 10% per tahun. Berapa lama Yusuf menyimpan uang tersebut agar menjadi Rp1.464.100,-
209MATEMATIKAAlternatif Penyelesaian:Diketahui: Modal awal (M0) = 1.000.000,- dan besar uang tabungan setelah sekian tahun (Mn) = 1.464.100, besar bunga yang disediakan bank untuk satu tahun adalah 10% = 0,1.Ditanya: Berapa tahun (n) Yusuf menabung agar uangnya menjadi (Mn) = 1.464.100.Perhatikan pola pertambahan jumlah uang Yusuf setiap akhir tahunnya pada tabel berikut.Tabel 5.7: Perhitungan besar suku bunga pada setiap akhir tahun tAkhirTahunBunga Uang (10% × Total Uang)Total = Modal + BungaPola TotalUang pada saat t00Rp1.000.000,-1.000.000(1+0,1)01Rp100.000,-Rp1.100.000,-1.000.000(1+0,1)12Rp110.000,-Rp1.210.000,-1.000.000(1+0,1)23Rp121.000,-Rp1.331.000,-1.000.000(1+0,1)34Rp133.100,-Rp1.464.100,-1.000.000(1+0,1)4Dari tabel di atas, jelas kita lihat bahwa Yusuf harus menabung selama 4 tahun agar mempunyai uang sebesar Rp1.464.100,-.5.4.4 AnuitasAnuitas bukan hal yang baru dalam kehidupan ekonomi semisal sistem pembayaran sewa rumah, atau angsuran kredit (motor, rumah, bank, dll) atau pun uang tabungan kita di bank yang setiap bulan mendapatkan bunga, semuanya merupakan contoh konkret dari anuitas. Ada dua macam anuitas, yaitu:1. Anuitas pasti yaitu anuitas yang tanggal pembayarannya mulai dan terakhirnya pasti. Contoh: KPR, kredit bank, kredit mobil, dll.2. Anuitas tidak pasti, yaitu anuitas yang jangka pembayarannya tidak pasti. Contohnya pembayaran santunan asuransi kecelakaan.
210Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMisalkan modal sebesar M dipinjamkan tunai (cash), dengan suku bunga iper periode waktu dan harus dilunasi dalam n anuitas setiap periode waktu. Sebagai catatan, besarnya anuitas selalu tetap. Bagaimana cara menentukan besar anuitas? Misalkan M adalah modal yang dipinjamkan secara tunai dengan suku bunga i (dalam persentase) dan anuitasnya A. Kita dapat membuat gambaran perhitungan anuitas A sebagai berikut. Dari ilustrasi di atas dapat dibentuk pembayaran anuitas untuk waktu:Anuitas pertama : MAi11=+()Anuitas kedua : MAiAi2211=+()++()Anuitas ketiga : MAiAiAi223111=+()++()++()Anuitas ke-n: MAiAiAiAiMAiiinnn=+()++()++()+++()=+()++()++1111111111232(()+++()311inAi()1+Waktu ke-Pinjaman/kreditM0AAAAA123......nAi12+()Ai13+()Ain1+()
211MATEMATIKAMisalkan: vii=+()=+()−1111diperoleh:2323111111111111...dimana : 1()...()()nnnnnnvv vvvvvvv vvvvviiii-+ + ++<-+ + ++ =--=--+=+--+=Sehingga Anuitas ke-n menjadi: 1111()()nnniiM AAMii---+=⇔=-+Dengan: A= besar anuitas M = modal/total pinjaman i= tingkat suku bungan = banyaknya anuitasContoh 5.11Ibu Depi membeli sebuah sepeda motor dari dealer yang menggunakan sistem anuitas pada pembayaran kreditnya. Harga motor tersebut adalah Rp10.000.000,00 dengan menggunakan tingkat suku bunga 4% per tahun. Ibu Depi berencana melunaskan kreditnya dengan 6 kali anuitas. Hitunglah besar anuitas yang dibayarkan oleh Ibu Depi?
212Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian:Dari masalah tersebut dapat diketahui :M = Rp10.000.000,00 ;i = 4% = 0,04 ;n = 6Maka besar anuitasnya:AA=×=×−+−1000000010000000004110040046....,(,),0,20968854740,1907619031.907.619=×()=A10000000..Maka besar anuitas yang dibayarkan tiap pembayarannya sebesar Rp1.907.619,00.Uji Kompetensi 5.31. Kultur jaringan terhadap 1.500 bakteri yang diuji di laboratorium menun-jukkan bahwa satu bakteri dapat membelah diri dalam waktu 2 jam. a. Tentukan apakah ini termasuk masalah pertumbuhan atau peluruhan, berikan alasanmu?c. Tentukan banyak bakteri setelah 20 jam.d. Tentukan banyak bakteri setelah n jam.2. Pertumbuhan penduduk biasanya dinyatakan dalam persen. Misalnya, per-tumbuhan penduduk adalah 2% per tahun artinya jumlah penduduk ber-tambah sebesar 2% dari jumlah penduduk tahun sebelumnya. Pertambah-an penduduk menjadi dua kali setiap 10 tahun. Jumlah penduduk desa pada awalnya 500 orang, berapakah jumlah penduduknya setelah 70 tahun apabila pertumbuhannya 2,5%?3. Misalnya, pertumbuhan ekonomi suatu negara sebesar 5% per tahun arti-nya terjadi pertambahan Produk Domestik Bruto (PDB) sebesar 5% dari PDB tahun sebelumnya. Berdasarkan analisis, ekonomi Indonesia akan
213MATEMATIKAmengalami pertumbuhan sebesar 6.5% per tahun selama tiga tahun ke de-pan. Tentukan PDB pada tahun ketiga apabila PDB tahun ini PDB-nya sebesar 125 triliun rupiah.4. Kenaikan harga barang-barang disebut inflasi. Berdasarkan analisis, ekonomi Indonesia akan mengalami inflasi sebesar 8% per tahun selama 5 tahun mendatang. Apabila harga emas sekarang ini adalah Rp200.000,00 per gram, tentukan harga emas tersebut empat tahun lagi!5. Pada percobaan di sebuah laboratorium, temperatur benda diamati setiap menit. Setelah 13 menit suhunya 7º C dan setelah 19 menit suhunya 15ºC. Tentukan kenaikan suhu per menitnya!6. Keuntungan seorang pedagang asongan bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Bila keuntungan sampai bulan keempat Rp30.000,00 dan sampai bulan kedelapan Rp172.000,00 maka keuntungan sampai bulanke-18?7. Pada awal bekerja Amat mempunyai gaji Rp200.000,00 per bulan. Tiap tahun gaji Amat naik sebesar Rp15.000,00 per bulan. Berapa gaji Amat setelah dia bekerja selama 7 tahun?8. Seseorang menabung sejumlah uang di bank dan mendapat bunga majemuk 10% setahun. Satu tahun sesudah menabung dan setiap tahun berikutnya, diambil Rp100.000,00 untuk keperluan hidupnya. Berapakah uang yang harus ditabung sehingga setiap tahun ia dapat mengambil Rp100.000,00?9. Seseorang menabung Rp800.000,00 pada tahun pertama. Tiap tahun tabungannya ditambah dengan Rp15.000,00 lebih banyak daripada tahun sebelumnya. Berapakah jumlah simpanannya pada akhir tahun ke-10?10. Bakteri membelah menjadi 2 bagian setiap 4 jam. Jika pada pukul 12.00 banyaknya bakteri 1.000 ekor, Berapa banyaknya bakteri pada pukul 20.00 untuk hari yang sama?
214Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK11. Suatu bola jatuh dari ketinggian 72 meter, kemudian memantul di tanah dan memantul kembali 80% dari tinggi semula, begitu seterusnya sampai dengan 6 pantulan. Berapa tinggi bola pada pantulan ke-6?12. Pada malam tahun baru sebuah organisasi sosial melakukan kegiatan amal berupa pertunjukkan kesenian tradisional dalam rangka membantu korban bencana alam erupsi Sinabung, ruangan tempat duduk untuk para penontondibagi atas beberapa baris. Masing-masing baris terdiri dari 200 tempat duduk. Harga karcis baris terdepan Rp150.000,00 per orang dan harga kacisbaris paling belakang sebesar Rp50.000,00 per orang. Selisih harga karcis untuk tiap baris itu sama. Jika semua karcis habis terjual maka panitia ber-harap akan memperoleh uang sebesar Rp120.000.000,00. Berapakah harga karcis per orang dari sebelum baris paling belakang?13. Pada akhir tahun 2005 jumlah penduduk sebuah kota 225.000 jiwa. Jika jumlah penduduk bertambah 20% tiap tahun, maka tentukan jumlah pen-duduk pada akhir tahun 2010?14. Badan Pusat Statistik memperkirakan bahwa angka kelahiran bayi di desa Suka Senang setiap bulannya, dari bulan Januari hingga Desember, selama tahun 2008 dapat dinyatakan dengan barisan bilangan 2, 6, 18,... . Nilai suku ke-1, ke-2, sampai ke-12 menyatakan jumlah bayi yang lahir pada bulan Januari, Februari, sampai Desember. Berdasarkan ilustrasi tersebut,15. Sebuah mobil seharga Rp600.000.000,00,- mengalami penyusutan harga setiap tahun membentuk barisan geometri dengan rasionya adalah13. Hitunglah harga mobil pada tahun ke-5!
215MATEMATIKA D. PenutupBeberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan materi barisan, disajikan sebagai berikut.1. Barisan bilangan adalah sebuah fungsi dengan domainnya himpunan bilangan asli dan rangenya suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real.2. Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki beda dua suku berurutan selalu tetap.3. Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki hasil bagi dua suku berurutan adalah tetap. Hasil bagi dua suku berurutan disebut rasio.4. Masih banyak jenis barisan yang akan kamu pelajari pada jenjang yang lebih tinggi, seperti barisan naik dan turun, barisan harmonik, barisan Fibonacci, dan lain sebagainya. Kamu dapat menggunakan sumber bacaan lain untuk lebih mendalami sifat-sifat barisan.